Q 車両の車庫証明書の提出まで必要ですか？

自治体にもよるとは思いますが、少なくとも当方は求められたことはありません。
車両がリースや賃貸借によるものである場合は、リースや賃貸借契約書の添付が必要です。

車庫証明書はあって当然ですので、ほとんどの自治体で提出が省略されているのでしょう。